Question

7．如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且OB=$\frac{1}{2}$OC．
（1）求B點的坐標和k的值．
（2）若點A（x，y）是第一象限內(nèi)直線y=kx-1的一個動點，試寫出△AOB的面積與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當點A運動到什么位置時，△AOB的面積是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）令一次函數(shù)解析式中x=0，求出y值，即可得出點C的坐標以及OC的長度，再根據(jù)OB=$\frac{1}{2}$OC，即可得出點B的坐標，將點B的坐標帶入一次函數(shù)解析式中即可求出k值；
（2）由點A（x，y）是第一象限內(nèi)直線y=2x-1的一個動點，用x表示出y并找出x的取值范圍，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分點A在x軸上下兩種情況考慮，當點A在x軸上方時將S=$\frac{1}{4}$代入（2）的結(jié)論中，求出x值，再將x代入點A的坐標即可；當點A在x軸下方時，根據(jù)三角形的面積可得出關(guān)于y的一元一次方程，解方程可得出y值，將其代入點A坐標即可．此題得解．

解答 解：（1）令y=kx-1中x=0，則y=-1，
∴C（0，-1），OC=1．
∵OB=$\frac{1}{2}$OC，
∴OB=$\frac{1}{2}$，
∴點B的坐標為（$\frac{1}{2}$，0），
把B（$\frac{1}{2}$，0）代入y=kx-1中，得0=$\frac{1}{2}$k-1，
解得：k=2．
（2）∵點A（x，y）是第一象限內(nèi)直線y=2x-1的一個動點，
∴A（x，2x-1）（x＞$\frac{1}{2}$），
∴S=$\frac{1}{2}$•OB•y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（2x-1）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$（x＞$\frac{1}{2}$）．
（3）當S=$\frac{1}{4}$時，分兩種情況：
①當點A在x軸上方時，有$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
解得：x=1，
∴y=2x-1=1，
∴A（1，1）；
②當點A在x軸下方時，有-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$y=$\frac{1}{4}$，
解得：y=-1，
∴x=$\frac{y+1}{2}$=0，
∴A（0，-1）．
故當點A的坐標為（1，1）或（0，-1）時，△AOB的面積為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點B的坐標；（2）利用三角形的面積公式找出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）分點A在x軸的上下考慮．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．