Question

（ 1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m， CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．

（2）如圖2，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論“DE=BD+CE”是否成立?如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

 

Answer 1

證明：(1)∵BD⊥直線m，CE⊥直線m

∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE   ………………4分

(2)∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—

∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC

∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE   ………………4分

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF為等邊三角形.   ………………4分