Question

3．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，F(xiàn)在DC的延長(zhǎng)線上，且CF=AE．
（1）求證：∠BEF=45°；
（2）若AE=2，DE=3，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BF，根據(jù)SAS定理得出△ABE≌△CBF，故可得出∠ABE=∠CBF，BE=BF，由此可得出△BEF是等腰直角三角形，故可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)AE=CF可得出DF的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCF=90°．
在△ABE與△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠A=∠BCF\\ AE=CF\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∴∠EBF=∠ABC=90°
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°；

（2）∵AE=CF=2，DE=3，
∴DF=CF+CD=2+（2+3）=7，
∴EF=$\sqrt{{DF}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{58}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．