Question

22、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線的頂點(diǎn)P到軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線段的OM上，點(diǎn)A、D在拋物線上．
（1）請(qǐng)寫出P、M兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求出這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)矩形ABCD的周長為l，求l的最大值；
（3）連接OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請(qǐng)判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)Q（除點(diǎn)M外），使得△OPQ也是等腰三角形，簡(jiǎn)要說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)P到軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4，知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是OM的一半，即2；點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4．點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4，0）．根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可以運(yùn)用頂點(diǎn)式求函數(shù)的解析式，再進(jìn)一步把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入即可．
（2）設(shè)C（x，0），則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分別表示出矩形的長和寬，再進(jìn)一步根據(jù)矩形的周長公式進(jìn)行計(jì)算．然后根據(jù)二次函數(shù)的最值方法進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可以考慮OP當(dāng)?shù)祝��?dāng)OP是底時(shí)，則點(diǎn)Q即為OP的垂直平分線和拋物線的交點(diǎn)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得P（2，4）；M（4，0）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4
過點(diǎn)M（4，0），則4a+4=0
∴a=-1，y=-（x-2）²+4=4x-x²
（2）設(shè)C（x，0），
則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
∵l=2（BC+CD）
=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10
當(dāng)x=1時(shí)，l_最大值=10
（3）存在．
若OP當(dāng)?shù)�，則點(diǎn)Q即為OP的垂直平分線和拋物線的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：能夠根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)拇�定系�?shù)法求得二次函數(shù)的解析式；能夠利用建立函數(shù)關(guān)系式的方法求得周長或面積的最值；若要構(gòu)成等腰三角形，則已知的邊可以當(dāng)?shù)�，也可以�?dāng)腰．