【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A的坐標(biāo)為(0,﹣1),點C(m,0)是x軸上的一個動點.
(1)如圖1,點B在第四象限,△AOB和△BCD都是等邊三角形,點D在BC的上方,當(dāng)點C在x軸上運動到如圖所示的位置時,連接AD,請證明△ABD≌△OBC;
(2)如圖2,點B在x軸的正半軸上,△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,點D在AC的上方,∠D=90°,當(dāng)點C在x軸上運動(m>1)時,設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),請?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達式;
(3)如圖3,四邊形ACEF是菱形,且∠ACE=90°,點E在AC的上方,當(dāng)點C在x軸上運動(m>1)時,設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,y),請?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達式.

【答案】
(1)解:∵△AOB和△BCD都是等邊三角形,

∴AB=OB,BD=BC,∠ABO=∠DBC=60°,

∴∠ABD=∠OBC,

在△ABD和△OBC中,

,

∴△ABD和△OBC;


(2)解:如圖,過點D作DH⊥y軸,垂足為H,延長HD,過點C作CG⊥HD,垂足為G.

∴∠AHD=∠CGD=90°,

∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,

∴∠ADC=90°,AD=CD,

∴∠ADH+∠CDG=90°,

∵∠ADH+∠DAH=90°,

∴∠CDG=∠DAH,

∵在△AHD和△DGC中,

,

∴△AHD≌△DGC(AAS),

∴DH=CG=OH,

∵點D的坐標(biāo)為(x,y),

∴y與x之間的關(guān)系是y=x


(3)解:過點E作EM⊥x軸,垂足為M,則∠EMC=∠COA=90°,

∵四邊形ACEF是菱形,且∠ACE=90°,

∴AC=CE,∠ACO+∠ECO=90°,

∵∠ACO+∠CAO=90°,

∴∠ECO=∠CAO,

在△EMC和△COA中,

,

∴△EMC≌△COA(AAS),

∴MC=OA=1,EM=OC,

∵點E的坐標(biāo)為(x,y),

∴EM=OC=x+1,

∴y與x之間的關(guān)系是y=x+1.


【解析】(1.)由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=OB,BD=BC,∠ABO=∠DBC=60°,從而判斷出∠ABD=∠OBC即可; (2.)過點D作DH⊥y軸,垂足為H,延長HD,過點C作CG⊥HD,垂足為G,由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,得出∠ADC=90°,AD=CD,∠CDG=∠DAH,從而得到△AHD≌△DGC(AAS),根據(jù)DH=CG=OH,點D的坐標(biāo)為(x,y),得出y與x之間的關(guān)系是y=x;
(3.)過點E作EM⊥x軸,垂足為M,則∠EMC=∠COA=90°,再利用正方形的性質(zhì)即可得出△EMC≌△COA(AAS),得到MC=OA=1,EM=OC,EM=OC=x+1,進而得出y與x之間的關(guān)系是y=x+1.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°;等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°.

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