Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A與C的坐標(biāo)分別為（4，8），（0，5），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過(guò)OB上的動(dòng)點(diǎn)D作直線(xiàn)y=kx+b平行于A(yíng)C，與AB相交于點(diǎn)E，連接CD，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF∥CD，交AC于點(diǎn)F．
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在OB上移動(dòng)時(shí)，能否使四邊形CDEF成為矩形？若能，求出此時(shí)k、b的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如果將直線(xiàn)AC作向下平移，交y軸于點(diǎn)C′，交AB于點(diǎn)A′，連接DC′，過(guò)點(diǎn)E作EF′∥DC′，交A′C′于點(diǎn)F′，那么能否使四邊形C′DEF′成為正方形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)正方形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)求出解析式；
（2）D在OB上移動(dòng)，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)矩形性質(zhì)CD⊥DE，從而有一個(gè)斜率關(guān)系，代入可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線(xiàn)DE；
（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上繼續(xù)延伸，使其成正方形，要求C′D=DE就可以了，列出方程解出直線(xiàn)DE解析式，再求出邊長(zhǎng)就解決問(wèn)題了．

解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴

8=4k+b 5=b

，
解得k=

3

4

，b=5，
∴直線(xiàn)AC的解析式為：y-5=

3

4

x，即y=

3

4

x+5；

（2）如圖1，設(shè)D（m，0），
∵kAC=

3

4

，DE∥AC，AC⊥CD，
∴k=

3

4

，k_CD=-

4

3

，
又C（0，5），D（m，0），
∴

5-0

0-m

=-

4

3

，
∴m=

15

4

，
∴點(diǎn)D（

15

4

，0）代入y=

3

4

x+b，
∴b=-

45

16

；

（3）如圖2，假設(shè)存在這樣的正方形則由題意：將直線(xiàn)AC作向下平移，
則可設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=

3

4

x+5+c，
∵A′C′∥DE，
∴k=

3

4

直線(xiàn)DE的解析式為：y=

3

4

x+b，
令y=0，得x=-

4

3

b，
設(shè)D（-

4

3

b，0），C′（0，5+c），
又∵E點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，
∴E（4，3+b），
則OD=-

4

3

b，BD=4+

4

3

b，BE=3+b，OC′=5+c，
∵由題意使四邊形C′DEF′成為正方形，
∴DO=BE，OC′=DB，
則

3+b=- 4 3 b 4+ 4 3 b=5+c

，
解得：

b=- 9 7 c=- 19 7

∴邊長(zhǎng)為

(5+c)2+( 4 3 b)2

=

20

7

，
∴正方形的面積S=

20

7

×

20

7

=

400

49

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查一次函數(shù)基本性質(zhì)，待定系數(shù)求解析式，簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，但實(shí)質(zhì)考查計(jì)算能力，解方程組．第三問(wèn)探討存在性問(wèn)題，間接考查了正方形的性質(zhì)．