Question

如圖，已知第二象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

k

x

上，第三象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

2

x

上，且OA⊥OB，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M．
（1）求△BOM的面積．
（2）若cos∠ABO=

5

5

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)S=

1

2

|k|即可求得；
（2）作AC⊥y軸，BD⊥y軸．易得△ACO∽△ODB，根據(jù)比例式求出BD，OD，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入y=

k

x

即可求出k的值．

解答：解：（1）△BOM的面積=

1

2

×2=1；
（2）如圖，作BD⊥y軸，AC⊥y軸．

∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴

OA

OB

=

OC

BD

=

AC

OD

，
∵cos∠ABO=

5

5

，
∴

OB

AB

=

5

5

，
∴OB=

5

5

AB，
∴OA=

AB2-OB2

=

2 5

5

AB，
∴

OA

OB

=

OC

BD

=

AC

OD

=

2

1

，
設(shè)B（x，

2

x

）
AC=2OD=-

4

x

，OC=2BD=-2x，
∴A（

4

x

，-2x），
代入反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，得-2x=

k

4 x

，
解得k=-8．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．