Question

小明想用一塊三角形廢料截取一個正方形，如圖所示，操作如下：過AB上點(diǎn)D作DE⊥BC，以DE為邊作正方形DEFG，隨后他又改變了主意，想盡可能的利用廢料，在△ABC內(nèi)部截一個正方形，使一邊在BC上，另外兩點(diǎn)位于AB、AC上，利用你所學(xué)知識，幫他畫出來．
（1）在小明作圖的基礎(chǔ)上作出正方形，簡述作法；
（2）證明你所作的四邊形是正方形；
（3）若BC=120cm，BC邊上的高為80cm，求所作正方形的邊長．

Answer 1

（1）解：位似畫法，
連接BG并延長到△ABC的邊AC上一點(diǎn)N，過點(diǎn)N做MN∥BC，交邊AB于一點(diǎn)M，過點(diǎn)M做MT⊥BC于點(diǎn)T，過點(diǎn)N做NK⊥BC于一點(diǎn)k，所得圖形就是所要正方形．

（2）證明：點(diǎn)D與M；點(diǎn)E與T；點(diǎn)G與N；點(diǎn)F與K；相交于一點(diǎn)，
而且MN∥DG，NK∥GF；DE∥MT；FE與TK在一條直線上，
所以正方形DEFG與四邊形MTKN是位似圖形，
所以四邊形MTKN是正方形．

（3）解：假設(shè)正方形邊長為x厘米，過點(diǎn)A，做AS⊥BC，交MN于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)S，
在△ABC中可得：

∵BC=120cm，BC邊上的高為80cm，
∴AS=80cm，MN=x cm，AP=（80-x）cm代入上式得：

解得：x=48cm
答：正方形的邊長是48cm．
分析：（1）根據(jù)在△ABC內(nèi)部截一個正方形，由原正方形與所畫正方形位置關(guān)系可以判斷出，需要做原正方形的位似圖形，
（2）證明所畫圖形是正方形可以證明它們是位似圖形，
（3）利用相似三角形對應(yīng)高的比也等于相似比，可以求出，注意所畫圖形是正方形，用同一未知數(shù)表示未知邊，即可求出．
點(diǎn)評：此題主要考查了位似圖形的畫法，以及位似圖形的判定方法，以及相似三角形中對應(yīng)高與相似比的關(guān)系，題目比較新穎．