Question

如圖，四邊形ABCD為菱形，點G為BC的延長線上一點，連接AG，分別交BD、DC于點E、F，連CE．
（1）猜想EC與AE的數(shù)量關(guān)系為

 

；（不需證明）
（2）若F為CD的中點，猜想

FG

EF

=

 

，并說明理由；
（3）若AE=mEF（m＞1），猜想

FG

EF

=

 

．（用m表示，不需證明）

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由菱形的性質(zhì)可知∠ABE=∠CBE，AB=BC，所以△ABE≌△CBE，所以EC=AE．
（2）通過△ABE∽△FDE即可求得

FG

EF

=3．
（3）由（2）可知

FG

EF

=m²-1．

解答：解：（1）EC與AE的數(shù)量關(guān)系為EC=AE．

（2）3，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥CG，
∴∠DAF=∠G，
又∵F為CD的中點，
∴DF=FG，
又∵∠AFD=∠GFC，
在△ADF與△GCF中，

∠DAF=∠G ∠AFD=∠GFC DF=FG

，
∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AF=FG，
由四邊形ABCD為菱形，可得AB=CD=2FD，AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴

FD

AB

=

EF

AE

=

1

2

，即AE=2EF，
∴FG=AF=3EF，
∴

FG

EF

=3．

（3）m²-1．
故答案為EC=AE，3，m²-1．

點評：此題主要考查菱形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理及性質(zhì)．