Question

16．如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）已知：∠BAC=120°，BC=12，求⊙O的半徑是多少？

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OD，OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得出AB⊥OD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=OD，從而證得結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可得OB，由切線的性質(zhì)可得∠BAO，可得∠B，由含30°角直角三角形的性質(zhì)可得BD的長，進(jìn)而求出DO的長．

解答 （1）證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OD，OA，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，
∴AO是∠BAC的平分線，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，
∵AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端點(diǎn)且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，BC=12，
∴AO⊥BC，BO=6，
∵∠BAC=120°，AB，AC為⊙O的切線，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴∠B=30°，
∵BO=6，∠B=30°，OD⊥AB，
∴BD=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×6=3$，
則DO=3$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半徑是3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．