Question

8．若二元二次方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{-y}^{2}=1}\\{y=k（x-2）+1}\end{array}\right.$有唯一解，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 先利用代入消元法得到（1-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-2=0，再分類討論：當1-k²=0時，即k=±1，關(guān)于x的方程變形為一元一次方程，方程有一個解，則方程組有唯一解；當1-k²≠0時，關(guān)于x的方程變形為一元二次方程，當△=0時，方程有兩組相同的解，方程組有唯一解，所以[2k（2k-1）]²-4（1-k²）（-4k²+4k-2）=0，整理得3k²-4k+2=0，而此方程無實數(shù)根，然后綜合兩種情況得到k=±1．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=1}&{①}\\{y=k（x-2）+1}&{②}\end{array}\right.$，
把②代入①得x²-[k（x-2）+1]²=1，
整理得（1-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-2=0，
當1-k²=0時，即k=±1，關(guān)于x的方程變形為一元一次方程，方程有一個解；
當1-k²≠0時，即k≠±1，關(guān)于x的方程變形為一元二次方程，
當△=0時，方程有兩組相同的解，即[2k（2k-1）]²-4（1-k²）（-4k²+4k-2）=0，
整理得3k²-4k+2=0，此方程無實數(shù)根，
所以當k=1或-1時，原方程組有唯一解．

點評 本題考查了高次方程：通過適當?shù)姆椒�，把高次方程化為次�?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．