Question

已知點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)O在線段AB延長線上．以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作圓，點(diǎn)C是圓O上的一點(diǎn)．
（1）如圖，如果AP=2PB，PB=BO．求證：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常數(shù)，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中項(xiàng)．當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AC：BC的值（結(jié)果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)夾角相等，對應(yīng)邊成比例可證
（2）OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．
（3）討論相交，內(nèi)切，內(nèi)含與⊙B與⊙C的圓心距的關(guān)系．

解答：（1）證明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，
∴AO=2PO．
∴

AO

PO

=

PO

BO

=2．（2分）
∵PO=CO，（1分）
∴

AO

CO

=

CO

BO

．
∵∠COA=∠BOC，
∴△CAO∽△BCO．（1分）

（2）解：設(shè)OP=x，則OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，
∴x²=（x-1）（x+m）．（1分）
∴x=

m

m-1

．
即OP=

m

m-1

．（1分）
∴OB=

1

m-1

．（1分）
∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，即

OA

OP

=

OP

OB

，
∵OP=OC，
∴

OA

OC

=

OC

OB

．（1分）
設(shè)⊙O與線段AB的延長線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P，點(diǎn)Q不重合時(shí)，
∵∠AOC=∠COB，
∴△CAO∽△BCO．（1分）
∴

AC

BC

=

OC

OB

．（1分）
∴

AC

BC

=

OC

OB

=

OP

OB

=m．
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P或點(diǎn)Q重合時(shí)，可得

AC

BC

=m，
∴當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC：BC=m．（1分）

（3）解：由（2）得，AC＞BC，且AC-BC=（m-1）BC（m＞1），AC+BC=（m+1）BC，
⊙B和⊙C的圓心距d=BC，
顯然BC＜（m+1）BC，∴⊙B和⊙C的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含．
當(dāng)⊙B與⊙C相交時(shí)，（m-1）BC＜BC＜（m+1）BC，得0＜m＜2，
∵m＞1，
∴1＜m＜2；（1分）
當(dāng)⊙B與⊙C內(nèi)切時(shí)，（m-1）BC=BC，得m=2；（1分）
當(dāng)⊙B與⊙C內(nèi)含時(shí)，BC＜（m-1）BC，得m＞2．（1分）

點(diǎn)評：考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓與圓的位置的各種情況．