Question

若x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=4，那么

x2+1

+

y2+4

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：將x+y=4變形后代入

x2+1

+

y2+4

，再轉(zhuǎn)化為軸對稱最短路徑問題解答即可．

解答：解：∵x+y=4，
∴y=4-x①，
將①代入

x2+1

+

y2+4

得，

x2+1

+

(4-x)2+4

②，
由②得，

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-4)2+(0-2)2

，
可理解為M（x，0）到A（0，1）和B（4，2）的距離的最小值．
作A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)A'（0，-1），連接A′B，與x軸交點(diǎn)即為M．
在Rt△A'DB中，A'B=

A′D2+BD2

=

32+42

=5．
故答案為：5．
如圖：

點(diǎn)評：此題考查了利用兩點(diǎn)間距離公式的幾何意義解答最值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要作用．