Question

（1）若x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩個根，其中p²-4q≥0，求證：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q；
（2）若拋物線y=x²+px+p-2與x軸交于點A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₂＞x₁），設線段AB的長為d，當p為何值時，d²有最小值？并求出最小值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,根與系數(shù)的關系

專題：

分析：（1）先根據求根公式得出x₁、x₂的值，再求出兩根的和與積即可；
（2）由d=|x₁-x₂|可知d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4 x₁•x₂=p²，再由（1）中 x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q即可得出結論．

解答：（1）證明：∵方程x²+px+q=0的兩個根為x₁=

-p+ p2-4q

2

，x₂=

-p- p2-4q

2

．  
∴x₁+x₂=

-p+ p2-4q

2

+

-p- p2-4q

2

=-p，
x₁•x₂=

-p+ p2-4q

2

×

-p- p2-4q

2

q；

（2）解：由（1）得，x₁+x₂=-p，x₁•x₂=p-2，
∴d2=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=p2-4(p-2)，
即d²=p²-4p+8=（p-2）²+4，
∴當p=2時，d²有最小值，最小值為4．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點及根與系數(shù)的關系，熟知x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q是解答此題的關鍵．