Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），OA=2，正比例函數(shù)y=$\frac{3x}{m}$和反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)A作OA的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B．
（1）求m和k的值；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，取M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．以AB為底邊在△ABO的外部作等腰三角形ABC，問(wèn)直線(xiàn)MC與邊OA有何種位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法將A點(diǎn)代入正比例函數(shù)解析式進(jìn)而得出m的值，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再將A點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式即可得出k的值；
（2）利用已知首先求出AO的解析式，進(jìn)而假設(shè)出AB的解析式求出圖象與x軸交點(diǎn)即可；
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合垂線(xiàn)的性質(zhì)得出答案．

解答 解：（1）∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），在正比例函數(shù)y=$\frac{3x}{m}$的圖象上，
∴m=$\frac{3×1}{m}$，
解得：m=±$\sqrt{3}$，
∵正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，
∴m=$\sqrt{3}$，
則A（1，$\sqrt{3}$），代入y=$\frac{k-1}{x}$得k-1=$\sqrt{3}$，
故k=$\sqrt{3}$+1；

（2）∵m=$\sqrt{3}$，
∴直線(xiàn)OA的解析式為：y=$\sqrt{3}$x，
∵過(guò)A作OA的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B，
∴直線(xiàn)AB的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
將A點(diǎn)代入直線(xiàn)AB的解析式得，$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+b
解得：b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故直線(xiàn)AB的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)y=0，解得：x=4，
故B（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）；

（3）CM∥AO，
理由：∵M(jìn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．以AB為底邊在△ABO的外部作等腰三角形ABC，
∴CM⊥AB，
又∵OA⊥AB，
∴CM∥AO．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確求出直線(xiàn)AB的解析式是解題關(guān)鍵．