Question

如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax²+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，∴y=2x-6，∴B（3，0）．

∵A為頂點，∴設拋物線的解析為y=a(x-1)²-4，解得a=1，∴y=(x-1)²-4=x²-2x-3   （4分）

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當∠POB=∠POC時，△POB≌△POC，

此時PO平分第三象限，即PO的解析式為y=-x．

設P（m，-m），則-m=m²-2m-3，解得m=（m=>0，舍），

∴P（，）．                                            

（3）①如圖，當∠Q₁AB=90°時，△DAQ₁∽△DOB，∴，即，∴DQ₁=，

∴OQ₁=，即Q₁（0，）；

②如圖，當∠Q₂BA=90°時，△BOQ₂∽△DOB，

∴，即，

∴OQ₂=，即Q₂（0，）；

③如圖，當∠AQ₃B=90°時，作AE⊥y軸于E，

則△BOQ₃∽△Q₃EA，

∴，即，

∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，

即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．

綜上，Q點坐標為（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．        

【解析】（1）先由A（1，-4）得到直線的解析式，再求得直線與x軸的交點坐標B（3，0），即可求得拋物線的解析式；

（2）由△POB≌△POC可知PO平分第三象限，即PO的解析式為y=-x，求出它與拋物線的交點坐標即為點P的坐標；

（3）分三種情況：①當∠Q₁AB=90°時，△DAQ₁∽△DOB；②當∠AQ₃B=90°時，作AE⊥y軸于E，則△BOQ₃∽△Q₃EA；③當∠AQ₃B=90°時，作AE⊥y軸于E，則△BOQ₃∽△Q₃EA，在這三種情況下利用對應邊成比例即可求得點Q的坐標．