Question

如圖，△ABC中，∠ABC=90°，E為AC的中點．
操作：過點C作BE的垂線，過點A作BE的平行線，兩直線相交于點D，在AD的延長線上截取DF=BE．連接EF、BD．
（1）試判斷EF與BD之間具有怎樣的關系？并證明你所得的結論．
（2）如果AF=13，CD=6，求AC的長．

Answer 1

解：如圖：
（1）EF與BD互相垂直平分．
證明如下：連接DE、BF，∵BE∥DF，BE=DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∵CD⊥BE，
∴CD⊥AD，
∵∠ABC=90°，E為AC的中點，
∴BE=DE=，
∴四邊形BEDF是菱形，
∴EF與BD互相垂直平分．

（2）解：設DF=BE=x，則AC=2x，AD=AF-DF=13-x，
在Rt△ACD中，∵AD²+CD²=AC²，
∴（13-x）²+6²=（2x）²，
3x²+26x-205=0，
x₁=-（舍去），x₂=5，
∴AC=10，
答：AC的長是10．
分析：（1）證平行四邊形BEDF，根據直角三角形斜邊上的中線證BE=DF，推出菱形BEDF即可；
（2）設DF=BE=x，則AC=2x，AD=AF-DF=13-x，在Rt△ACD中根據勾股定理求出x，即可得到答案．
點評：本題主要考查對平行四邊形的判定，勾股定理，解一元二次方程，直角三角形斜邊上的中線，菱形的判定和性質等知識點的理解和掌握，能求出BE=DE和得到關于x的方程是解此題的關鍵．