Question

如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(-1, 0)、B(4, 5)兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）y=x2-2x-3．（2），（3）、、、．

【解析】

試題分析：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可；

（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)勾股定理可求出AB的長，進(jìn)而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO= ．

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2-2x-3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x+1），在分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，則四邊形NMCB是平行四邊形討論求出符合題意的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即可．

試題解析：：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x2+bx+c，得

，

解得b=-2，c=-3．

∴拋物線的解析式：y=x2-2x-3．

（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．

在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，

∴AC=BC．

∴∠BAC=45°，AB=．

如圖1，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H．

在Rt△AOH中，OA=1，

∴AH=OH=OA×sin45°=1×=，

∴BH=AB-AH=，

在Rt△BOH中，tan∠ABO=．

（3）直線AB的解析式為：y=x+1．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2-2x-3），

點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x+1），

如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)，

則四邊形MNCB是平行四邊形，MN=BC=5．

由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，

解方程x2-3x-4=5，得x=或x=．

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，則四邊形NMCB是平行四邊形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，

解方程-x2+3x+4=5，得x=或x=．

所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)，其橫坐標(biāo)分別為：、、、．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．