Question

如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，0），過頂點(diǎn)C的直線y=

4

3

x-

8

3

交x軸于E．
（1）求正方形的邊長；
（2）若P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)PC+PE的值最小時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，

4

3

a-

8

3

），則可得OB，根據(jù)正方形的四邊相等，可得關(guān)于a的方程，解出a的值，即可得出正方形的邊長；
（2）找點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E′，連接CE′，則CE′與y軸交點(diǎn)，即是點(diǎn)P點(diǎn)的位置，求出CE′解析式，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得直線CE解析式為：y=

4

3

x-

8

3

，
令y=0，可得x=2，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，

4

3

a-

8

3

），
則AB=OB-OA=a-1，CB=

4

3

a-

8

3

，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴a-1=

4

3

a-

8

3

，
解得：a=5，
則四邊形ABCD的邊長為4．

（2）找點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E'，連接CE'，則CE'與y軸交點(diǎn)，即是點(diǎn)P點(diǎn)的位置，
點(diǎn)E'坐標(biāo)為（-2，0），
設(shè)CE'解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)C、E'坐標(biāo)代入，可得

-2k+b=0 5k+b=4

，
解得：

k= 4 7 b= 8 4

，
故直線CE'解析式為y=

4

7

x+

8

7

，
令x=0，則y=

8

7

．
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

8

7

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、軸對稱的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及待定系數(shù)法的應(yīng)用，難度一般．