Question

17．如圖，已知直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$與x軸、y軸分別相交于B、A兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為x=-3．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)B沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，MN的長度為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，s取得最大值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式分別令x=0、y=0，即可求得A、B的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，用待定系數(shù)法得到二次函數(shù)的解析式即可．
（2）設(shè)BP=t（0＜t＜7），則OP=7-t，P（t-7，0），M（t-7，$\frac{t}{2}$），N（t-7，-$\frac{1}{2}$（t-7+3）²+8），即可得出s=MN=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{7}{2}$t（0＜t＜7），由-$\frac{1}{2}$＜0，可知S有最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得s的最大值．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$與x軸、y軸分別相交于B、A兩點(diǎn)，
∴令x=0，則y=$\frac{7}{2}$，令y=0，則x=-7，
∴A（0，$\frac{7}{2}$），B（-7，0），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3．
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）²+n，
∵拋物線過A（0，$\frac{7}{2}$），B（-7，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+n=\frac{7}{2}}\\{16a+n=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{n=8}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+8．
（2）設(shè)BP=t（0＜t＜7），則OP=7-t，
∴P（t-7，0）
∵由于MP與y軸平行，且點(diǎn)M在直線AB上
∴M（t-7，$\frac{t}{2}$），
∵M(jìn)N與y軸平行，且點(diǎn)N在拋物線上
∴N（t-7，-$\frac{1}{2}$（t-7+3）²+8），
∴s=MN=-$\frac{1}{2}$（t-7+3）²+8-$\frac{t}{2}$=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{7}{2}$t（0＜t＜7），
∵-$\frac{1}{2}$＜0，即S有最大值
∴當(dāng)t=-$\frac{\frac{7}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{7}{2}$時(shí)，s_最大=-$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{2}$）²+$\frac{7}{2}$×$\frac{7}{2}$=$\frac{49}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．