Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上一動點，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標軸分別交于點A、B．

（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；
（2）求證：OA•OB是定值；
（3）在圖2中，直線y=2x與反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象交于點Q，設(shè)直線y=2x與反比例函數(shù)y=

OA•OB

x

（x＞0）圖象交于點E，以Q為圓心，QO為半徑的圓與坐標軸分別交于點C、D，判斷△CDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）∠AOB=90°，由圓周角定理的推論，可以證明AB是⊙P的直徑；
（2）分別表示出AO，BO的長，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)xy=k，進而得出答案；
（3）首先求出Q點坐標，進而得出EQ=OQ，則點E在⊙Q上，得出∠CED=90°，進而得出答案．

解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對的圓周角，
∴AB是⊙P的直徑．

（2）證明：設(shè)點P坐標為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上一點，∴mn=12．
如答圖，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，則OM=m，ON=n．
由垂徑定理可知，點M為OA中點，點N為OB中點，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴BO•OA=2n×2m=4mn=48．
；

（3）解：

如圖答題圖2，連接CE，DE，
∵Q為直線y=2x與y=

12

x

的圖象交點，
∴2x=

12

x

（x＞0），
解得：x=

6

，則點Q的坐標為（

6

，2

6

），
∵E為直線y=2x與y=

OA•OB

x

的圖象交點，
∴2x=

48

x

（x＞0），
解得x=2

6

，則點E的坐標為（2

6

，4

6

），
∴OQ=

30

，OE=2

30

，
∴EQ=OQ，
∴點E在⊙Q上，
由（1）可得CD為⊙Q的直徑，
∴∠CED=90°，
∴△CED是直角三角形．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識，難度不大．試題的核心是考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義．