Question

已知如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．過(guò)點(diǎn)F作FM垂直于DC，交直線DC于M．
（1）如果DG=2，那么FM=

2

 （畫出對(duì)應(yīng)圖形會(huì)變得更簡(jiǎn)單�。�
（2）當(dāng)E，G在正方形邊上移動(dòng)時(shí)，猜測(cè)FM的值是否發(fā)生改變，并證明你的結(jié)論．
（3）設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積S；判斷S能否等于1，若能求x的值，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．
（溫馨提示：不要忘記頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上哦�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)DG=2可以利用HL定理證明Rt△AEH與Rt△DHG全等，從而求出AE的長(zhǎng)度是4，等于CG的長(zhǎng)度，∠AEH=∠DHG，然后證明菱形EFGH是正方形，結(jié)合圖形可知FM=DG=2；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FN∥DM，根據(jù)平行公理可得FN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)以及平角等于180°可以求出∠1=∠5，然后證明△AEH與△MGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FM=AH，從而得到FM的值不會(huì)發(fā)生改變；
（3）根據(jù)三角形的面積公式求出CG的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出GH的平方，再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，然后根據(jù)AE的長(zhǎng)與6的關(guān)系即可判斷是否存在．

解答：解：（1）如圖所示，∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△AEH與Rt△DHG中，

HG=HE AH=DG

，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL），
∴AE=DH，∠AEH=∠DHG，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠GHE=180°-90°=90°，
∴菱形EFGH是正方形，
由圖形可知△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴FM=DG=2，
故答案為：2；

（2）FM的值不會(huì)發(fā)生改變．理由如下：
如圖，過(guò)點(diǎn)F作FN∥DM，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴FN∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴∠HEF+∠GFE=180°，
即∠2+∠3+∠HEF=180°，
又∠4+∠5+∠HEF=180°，
∴∠1=∠5，
在△AEH與△MGF中，

∠A=∠M=90° ∠1=∠5 HE=FG

，
∴△AEH≌△MGF（AAS），
∴FM=AH，
∵AH=2，
∴FM=2，是常數(shù)不變；

（3）結(jié)合圖形可得，S=

1

2

CG•FM=

1

2

×（6-x）×2=6-x，
假設(shè)S能等于1，則x=5，
∴DG=5，
在Rt△HDG中，HG²=DH²+DG²，
即HG²=（6-2）²+（6-1）²=16+25=41，
∴菱形EFGH的邊HE²=41，
在Rt△AEH中，AE=

HE2-AH2

=

41-22

=

37

＞6，
∵AB=6，
∴點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，不在邊AB上，不符合題意，
∴假設(shè)不成立，即S不能等于1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，綜合形較強(qiáng)，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想更形象直觀．