Question

【題目】如圖，在ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分線相交于點E，F(xiàn)為AE上一點，EF=EB，G為BD延長線上一點，BG=AB，連接GE．

（1）若ABCD的面積為9，求AB的長；

（2）求證：AF=GE．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到AD與BC平行，利用等邊三角形的判定可知三角形

ABG為等邊三角形，得到三邊相等，三角相等且為60°，再由BD垂直于BC，得到兩個內(nèi)

錯角都為90°，進(jìn)而求出∠DAB=30°，在直角三角形ADB中，利用30°所對的直角邊等于斜

邊的一半表示出BD，進(jìn)而表示出AD，表示出平行四邊形的面積，將表示出的AD，BD，

以及已知面積代入求出AB的長；

（2）連接BF，由AE，BE平分∠BAD、∠DBC，求出∠BAE與∠DBE的度數(shù)，利用內(nèi)角

和定理求出∠AEB=60°，由EF=BE，得到三角形BFE為等邊三角形，得到BE=BF，∠FBE=60°，

得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABF與三角形GBE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相

等得到AF=GE即可得證．

（1）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∵∠BDC=60°，

∴∠ABG=60°，

∵BG=AB，

∴△ABG為等邊三角形，

∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，

∵BD⊥BC，

∴∠ADB=∠DBC=90°，

∴∠DAB=∠GAB=30°，

在Rt△ADB中，

∵S平行四邊形ABCD=ADBD

∴AB=6，即AG=6；

（2）證明：連接BF，

∵AE、BE分別平分∠BAD、∠DBC，

∴∠BAE=∠BAD=15°，∠DBE=∠DBC=45°，

∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，

∴∠AEB=60°，

∵EF=BE，

∴△BFE為等邊三角形，

∴BE=BF，∠FBE=60°，

∴∠ABD=∠FBE=60°，

∴∠ABF=∠GBE，

在△ABF和△GBE中，

∴△ABF≌△GBE（SAS），

∴AF=GE．