Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（8，m）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使CP+DP的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線y=x²+bx+c左右平移，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，當(dāng)四邊形A′B′DC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求拋物線的解析式及此時(shí)四邊形A′B′DC周長(zhǎng)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）由于拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0），B（4，0），則有：

y=（x﹣2）（x﹣4）=x²﹣6x+8；

（2）易知：C（0，2），D（8，6）；

作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，﹣2），連接C′D，點(diǎn)P即為直線C′D與x軸的交點(diǎn)；

設(shè)直線C′D的解析式為：y=kx﹣2，則有：

8k﹣2=6，k=1；

∴直線C′D的解析式為y=x﹣2；則P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（2，0）；

（3）當(dāng)拋物線向右平移時(shí)，A′C+B′D＞AC+BD，顯然不存在符合條件的拋物線；

當(dāng)拋物線向左平移時(shí)，設(shè)平移后A′（x，0），B′（x+2，0）；

若平移后四邊形A′B′DC的周長(zhǎng)最小，那么A′C+B′D就應(yīng)該最�。�

將D向左平移2個(gè)單位，得：D′（6，6）；

若四邊形A′B′DC的周長(zhǎng)最小，那么C′、A′、D′就應(yīng)該在同一直線上，

設(shè)直線C′D′的解析式為：y=k′x﹣2，則有：6k′﹣2=6，k′=；

∴直線C′D′的解析式為y=x﹣2，

則A′（，0），B′（，0）；

∴此時(shí)拋物線的解析式為：y=（x﹣）（x﹣）=x²﹣5x+；

此時(shí)四邊形A′B′DC的周長(zhǎng)為：A′B′+A′C+B′D+CD=AB+CD+C′D′=2+4+10=12+4．

【解析】（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)已知直線的解析式可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D，與x軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可先求出直線C′D的解析式，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由于A′B′、CD都是定長(zhǎng)，若四邊形A′B′DC的周長(zhǎng)最小，那么A′C+B′D就最短，此時(shí)C′A′應(yīng)該平行于B′D，很顯然拋物線應(yīng)該向左平移，可將D向左平移2個(gè)單位（即AB的長(zhǎng)）得到D′，那么C′D′與x軸的交點(diǎn)即為所求的A′，可先求出直線C′D′的解析式，然后再求得A′的坐標(biāo)，也就能得到B′的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求得平移后拋物線的解析式；此時(shí)四邊形A′B′DC的最小周長(zhǎng)為：C′D′+AB+CD