Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于C點．動點P從點B出發(fā)，沿x軸負方向以每秒1個單位的速度運動．過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，再將△PBQ繞點P按逆時針方向旋轉90°．設點P的運動時間為t秒．
（1）若旋轉后的點B落在該拋物線上，則t的值為3．
（2）若旋轉后的△PBQ與該拋物線有兩個公共點，則t的取值范圍是4＞t＞$\frac{22}{9}$．

Answer 1

分析 審題可知：拋物線已知，可以先求出與坐標軸的交點坐標，確定三角形PBQ是等腰直角三角形，旋轉90°后，
（1）用t表示出點B的坐標，代入二次函數解析式，求解即可；
（2）用t表示旋轉后的點B和點Q的坐標，結合二次函數解析式列出不等式，求出邊PQ，PB，BQ與拋物線有交點的范圍，寫出范圍即可．

解答 解：y=-x²+2x+3，當x=0時，解得：y=3，所以OC=3；
當y=0時，0=-x²+2x+3，解得：x₁=-1，x₂=3，所以：OA=1，OB=3，
所以：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）
∵OC=OB=3，可知：∠OBC=45°
∵PQ⊥BC，
∴△PBQ是等腰直角三角形，PQ=PB，
運動t秒后，PB=t，運用勾股定理可求BQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，將△PBQ繞點P按逆時針方向旋轉90°后，PB⊥x軸，過點Q作QM⊥x軸，垂足為M，可求∠QPM=45°，
由勾股定理可求：PM=QM=$\frac{1}{2}$t，
所以P（3-t，0），Q（3-$\frac{3t}{2}$，$\frac{t}{2}$），點B（3-t，t），
（1）把點B（3-t，t）坐標代入y=-x²+2x+3得：t=-（3-t）²+2（3-t）+3，解得：t=3，或t=0（舍去）
所以：t=3．
故答案為：3
（2）若PB與拋物線y=-x²+2x+3有交點，由于點B（3-t，t），則有：當x=3-t時，y＜t，且3-t＜-1，代入得：-（3-t）²+2（3-t）+3≤t，
解得：4＞t≥3，或t≤0（舍去）
若PQ，BQ與拋物線y=-x²+2x+3有兩個不同交點，由于Q（3-$\frac{3t}{2}$，$\frac{t}{2}$），則有；當x=3-$\frac{3t}{2}$時，y＜$\frac{t}{2}$，且3-t＜-1，代入得：：-（3-$\frac{3t}{2}$）²+2（3-$\frac{3t}{2}$）+3≤$\frac{t}{2}$，
解得：4＞t＞$\frac{22}{9}$，或t≤0（舍去）
所以：當4＞t≥3時，PB與PQ與拋物線有交點；當3≥t＞$\frac{22}{9}$時，PQ和BQ與拋物線有交點，
綜上所述：
若旋轉后的△PBQ與該拋物線有兩個公共點，則t的取值范圍是：4＞t＞$\frac{22}{9}$
故答案為：4＞t＞$\frac{22}{9}$

點評 此題主要考察線段與拋物線的交點，根據已知設出點的坐標，結合題意列出不等式是解題的關鍵，其中解一元二次不等式可以根據畫二次函數的圖象解答．