Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+2x經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)為B．
（1）求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將這條拋物線向左平移后與y軸相交于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，且∠DBA=∠CBO，求平移后拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+2x經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），
∴0=16a+8．
∴a=-

1

2

，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-

1

2

x²+2x，
∴y=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x²-4x+2²-4）=-

1

2

（x-2）²+2．
頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）解法一：設(shè)平移后拋物線的表達(dá)式為y=-

1

2

x²+bx+c．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），
∴AB=OB=2

2

，∠BAD=∠BOC=45°．
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即平移的距離為c．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4-c，0）．
∴0=-

1

2

（4-c）²+b（4-c）+c．
又∵平移后拋物線的對稱軸為x=b．
∴b=2-c．
∴0=-

1

2

（4-c）²+（2-c）（4-c）+c．．
解得c=2或c=0（不符合題意，舍去）．
∴平移后拋物線的表達(dá)式為y=-

1

2

x²+2．
解法二：∵原拋物線表達(dá)式為y=-

1

2

x（x-4），
∴設(shè)平移后拋物線表達(dá)式為y=-

1

2

（x+m）（x-4+m）（m＞0，向左平移的距離）．
即y=-

1

2

x²-（m-2）x-

1

2

m²+2m．
∵B的坐標(biāo)為（2，2），
∵AB=OB=2

2

，∠BAD=∠BOC=45°，
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即m=-

1

2

m²+2m．解得m=2或m=0（不符合題意，舍去）．
∴平移后拋物線的表達(dá)式為：y=-

1

2

x²+2．