Question

2．拋物線y=x²+bx+c與x軸分別交于點A（-1，0）和點B，與y軸的交點C坐標(biāo)為（0，-3）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點D為拋物線對稱軸上的一個動點，若DA+DC的值最小，求點D的坐標(biāo)；
（3）點E為拋物線上的一點，使得△ABE的面積為6，求出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點和C點坐標(biāo)代入y=x²+bx+c中得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可；
（2）把（1）解析式配成頂點式得到拋物線的對稱軸為直線x=1，再解方程x²-2x-3=0得到B（3，0），如圖，連結(jié)CB交直線x=1于D點，利用兩點之間線段最短可判斷此時DA+DC最短，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x-3，然后計算自變量為所對應(yīng)的函數(shù)值即可得到D點坐標(biāo)；
（3）設(shè)E（t，t²-2t-3），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=6，則t²-2t-3=3或t²-2t-3=-3，然后分別解方程求出t即可得到E點坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，則拋物線的對稱軸為直線x=1，
當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為（3，0），
如圖，連結(jié)CB交直線x=1于D點，
因為DA+DC=DB+DC=CB，
所以此時DA+DC最短，
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把C（0，-3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)x=1時，y=x-3=1-3=-2，
所以此時D點坐標(biāo)為（1，-2）；
（3）設(shè)E（t，t²-2t-3），
因為△ABE的面積為6，
所以$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=6，
則t²-2t-3=3或t²-2t-3=-3，
解方程t²-2t-3=3得t₁=1+$\sqrt{7}$，t₂=1-$\sqrt{7}$，此時E點坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）；
解方程t²-2t-3=-3得t₁=0，t₂=2，此時E點坐標(biāo)為（0，-3）或（2，-3）．
綜上所述，滿足條件的E點坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（0，-3）或（2，-3）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了最短路徑問題．