Question

如圖1，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），同時(shí)拋物線還經(jīng)過點(diǎn)（-2，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在直線y=kx+n（k≠0）與拋物線交于點(diǎn)M、N，使y軸平分△CMN的面積？若存在，求出k、n應(yīng)滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)H，連接EC、EO，將拋物線向下平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)EO平分∠CEH時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)（-2，3）代入拋物線y=-x²+bx+c求出b、c的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線y=kx+b（k≠0），聯(lián)立直線與拋物線的解析式得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)要使y軸平分△CMN的面積，則M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k、n應(yīng)滿足的條件；
（3）根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)可知拋物線向下平移m個(gè)單位后，E為（-1，4-m），C為（0，3-m），故可得出EC=

2

，再根據(jù)CO∥EH可知當(dāng)CO=CE=

2

時(shí)，∠CEO=∠COE=∠OCH，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出m的值．

解答：解：（1）將點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)（-2，3）代入拋物線y=-x²+bx+c中，得

-1+b+c=0 -4-2b+c=3

，解得

b=-2 c=3

∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）假設(shè)存在滿足條件的直線y=kx+b（k≠0）．
由題意得，

y=kx+n① y=-x2-2x+3②

①-②得，x²+（k+2）x+n-3=0，③
要使y軸平分△CMN的面積，則M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴方程③滿足

x1+x2=-(k+2)=0 △=(k+2)2-4(n-3)＞0

，
解得k=-2，n＜3．即存在滿足條件的直線y=kx+n（k≠0）．

（3）∵拋物線向下平移m個(gè)單位后，E為（-1，4-m），C為（0，3-m），
∴EC=

2

．
∵CO∥EH，
∴當(dāng)CO=CE=

2

時(shí)，∠CEO=∠COE=∠OCH，
∴3-m=

2

，或m-3=

2

，即m=3-

2

或m=3+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與幾何變換等知識(shí)，難度適中．