Question

臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周?chē)鷶?shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．今年首個(gè)超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“圣帕”第0709號(hào)超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)（圣帕）于8月13日在北緯21.3度，東經(jīng)123.3度的太平洋上生成，其中心氣壓925百帕，近中心最大風(fēng)速55米/秒，生成時(shí)還是熱帶風(fēng)暴的“圣帕”，在連跳兩級(jí)后，15日晚8時(shí)已“變身”為超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)．向臺(tái)灣東部沿海逼近并登陸臺(tái)灣島，之后于19日上午將在福建中南部沿海福州一帶再次登陸．在這之前，臺(tái)風(fēng)中心在我國(guó)臺(tái)灣海峽的B處，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心25千米，臺(tái)風(fēng)就會(huì)減弱一級(jí)，如圖所示，該臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度沿北偏東30°方向向C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)4級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響．試問(wèn)：
（1）該城市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？
（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？

Answer 1

分析：（1）求是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，其實(shí)就是求A到BC的距離是否大于臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑，如果大于，則不受影響，反之則受影響．如果過(guò)A作AD⊥BC于D，AD就是所求的線段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度數(shù)，有AB的長(zhǎng)，AD就不難求出了．
（2）受臺(tái)風(fēng)影響時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的距離，應(yīng)該是A為圓心，臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑為半徑，所得圓截得的BC上的線段的長(zhǎng)即EF得長(zhǎng)，可通過(guò)在直角三角形AED和AFD中，根據(jù)勾股定理求得．有了路程，有了速度，時(shí)間就可以求出了．
（3）風(fēng)力最大時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心應(yīng)該位于D點(diǎn)，然后根據(jù)題目給出的條件判斷出時(shí)幾級(jí)風(fēng)．

解答：解：（1）該城市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響．
理由：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，
則AD即為該城市距離臺(tái)風(fēng)中心的最短距離．
在Rt△ABD中，因?yàn)椤螧=30°，AB=240．
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×240=120（千米）．
由題可知，距臺(tái)風(fēng)中心在（12-4）×25=200（千米）以內(nèi)時(shí)，則會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響．
因?yàn)?20＜200，因此該城市將會(huì)受到“圣帕”影響．

（2）依題（1）可知，當(dāng)點(diǎn)A距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)200千米時(shí)，會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，故在BC上作AE=AF=200；臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)F處時(shí)，該城市會(huì)處在臺(tái)風(fēng)影響范圍之內(nèi)．（如圖）
由勾股定理得，DE=

AE2-AD2

=

2002-1202

=160（千米）．
所以EF=2×160=320（千米）．
又知“圣帕”中心以20千米/時(shí)的速度移動(dòng)．
所以臺(tái)風(fēng)影響該城市320÷20=16（小時(shí)）．

（3）∵AD距臺(tái)風(fēng)中心最近，
∴該城市受到這次臺(tái)風(fēng)最大風(fēng)力為：12-（120÷25）=7.2（級(jí)）．
答：該城市受臺(tái)風(fēng)影響最大風(fēng)力7.2級(jí)．

點(diǎn)評(píng)：本題是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，使問(wèn)題解決．