Question

一組對邊及一組對角相等的四邊形是否是平行四邊形？

Answer 1

答案：
解析：

已知如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，請問四邊形ABCD是平行四邊形嗎？為什么？ 　　(1)如圖所示， 　　過A作AE⊥BC，過C作CF⊥AD，E，F(xiàn)為垂足， 　　在Rt△AEB和Rt△CFD中，∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，AB＝CD， 　　∴Rt△AEB≌Rt△CFD．∴AE＝CF，BE＝DF． 　　連結AC，在Rt△AEC和Rt△CFA中， 　　∵AE＝CF，AC＝AC， 　　∴Rt△AEC≌Rt△CFA．∴AF＝CE． 　　∴∠ACE＝∠CAF．∴AD∥BC． 　　又∵AF＋FD＝AD＝CE＋EB＝BC， 　　∴四邊形ABCD是平行四邊形． 　　(2)如圖所示，任作一等邊三角形ABC，在底邊BC上取一點E，使BE＞EC，連結AE，作∠AED＝∠EAC，取BD＝AC，連結AD，則四邊形ABED滿足本題條件，但它不是平行四邊形． 　　由構造已知條件可知，在△AEC和△EAD中，AE＝AE，∠AED＝∠EAC，ED＝AC， 　　∴△AEC≌△EAD(S．A．S．)．∴∠D＝∠C． 　　即AB＝AC＝ED，∠B＝∠C＝∠D，滿足題設條件． 　　又∵BE＞EC，EC＝AD， 　　∴BE＞AD．∴四邊形ABCD不是平行四邊形．