Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，直線y=x+3與x、y軸分別相交于點A、B，點C在y軸的負(fù)半軸上，且∠CAO=30°，點D在線段AC的延長線上，且CD=CO，連接OD、BD，BD交x軸于點E．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求證：OB=OD；
（3）圖中有幾對相似三角形（不添加其他字母和線段）請寫出所有的相似三角形，并選擇其中的一對加以證明．

Answer 1

解：（1）由題意得，A（-3，0），B（0，3），
∵∠CAO=30°，OA=3，
∴，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴，解得
∴直線AC的解析式是．

（2）∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠ODA=30°=∠CAO．
∴OD=OA．
∵OA=OB，
∴OB=OD．

（3）存在4對相似三角形：△ODC∽△ADO，△BAC∽△DAB∽△AEB，證明如下：
①∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠COD=∠OAD=30°，
而∠ODC=∠ADO，
∴△ODC∽△ADO，
②∵OB=OD，∠COD=30°，
∴∠ODB=∠OBD=15°，
∴∠ADB=∠CDO+∠ODB=30°+15°=45°，
∴∠ADB=∠ABC=45°，
而∠BAC=∠DAB，
∴△BAC∽△DAB．
分析：（1）依題意可得點A，B的坐標(biāo)．易求出OC的長以及點C的坐標(biāo)．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求出直線AC的解析式．
（2）根據(jù)CO=CD推出OD=OA=OB，故可得OB=OD．
（3）本題考查的是相似三角形的判定．
點評：本題考查的是利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三家形的判定定理，難度中等．