Question

5．在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分別以AB為邊作△ABE≌△ABD，以AC為邊作△ACF≌△ACD，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)M．
（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明．
（2）若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=AD，AF=AD，∠EBA=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，求出AE=AF，∠EAF=90°，根據(jù)正方形的判定得出即可；
（2）根據(jù)全等得出BD=BE=1，DC=CF=2，設(shè)正方形AEMF的邊長(zhǎng)為x，則∠EMF=90°，EM=FM=x，BM=x-1，CM=x-2，根據(jù)勾股定理得出方程（1+2）²=（x-1）²+（x-2）²，求出方程的解即可．

解答 （1）四邊形AEMF是正方形，
證明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD，
∴AE=AD，AF=AD，∠EBA=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴AE=AF，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°，
∴∠EAF=45°+45°=90°，
即∠E=∠F=∠EAF=90°，AE=AF，
∴四邊形AEMF是正方形；

（2）解：∵△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD，BD=1，CD=2，
∴BD=BE=1，DC=CF=2，
設(shè)正方形AEMF的邊長(zhǎng)為x，
則∠EMF=90°，EM=FM=x，
所以BM=x-1，CM=x-2，
在RtBMC中，由勾股定理得：BC²=BM²+CM²，
（1+2）²=（x-1）²+（x-2）²，
解得：x=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$（負(fù)數(shù)舍去），
所以四邊形AEMF的面積是（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）²=$\frac{13+3\sqrt{17}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．