Question

【題目】如圖，直徑把圓分為兩個(gè)半圓，一個(gè)半圓弧上有一定點(diǎn)，另一半圓弧上有一動(dòng)點(diǎn)．過作交的延長線于點(diǎn)．

（1）求證：

（2）若，

①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到半圓弧中點(diǎn)時(shí)，求邊上的高；

②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？并求這個(gè)最大面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①，；②當(dāng)PC=10時(shí)，．

【解析】

（1）易知，，證明即可.

（2）①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到半圓弧中點(diǎn)時(shí),連接AP，過點(diǎn)A作AH⊥PC，由圓周角定理知，得到，，根據(jù)勾股定理在中，從而得到，利用等積法求得的斜邊PC上的高，再根據(jù)的性質(zhì)，得到PQ上的高的值；

②因點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，恒成立，而面積為定值，根據(jù)，得到，故當(dāng)QC最大為直徑時(shí)，最大.問題得解.

（1）證明：∵是直徑∴

又∵，∴

又∵∴∴

∴

（2）①解：由直徑，可得，

∵點(diǎn)在半圓弧的中點(diǎn)∴，

過作于，在中

∴∴

在中

∴

設(shè)斜邊上高為，斜邊上高為

得

∵∴

∴

②解：在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，恒成立

∴當(dāng)最大時(shí)，面積最大

∵直徑

此時(shí)，，可得，

∴