Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的四個頂點坐標(biāo)分別為O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是對角線AC的中點，動直線MN平行于AC且交矩形OABC的一組鄰邊于E、F，交y軸、x軸于M、N．設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，t），△EFG的面積為S．
（1）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)△EFG為直角三角形時，求t的值；
（3）當(dāng)點G關(guān)于直線EF的對稱點G′恰好落在矩形OABC的一條邊所在直線上時，直接寫出t的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）分為MN在CA的左下方（0＜t＜3）和右上方（3＜t＜6）兩種情況；分別把EF表示出來，把△EFG的高表示出來即可；
（2）當(dāng)0＜t＜3時，把△EFG三邊的平方表示出來，△EFG是直角三角形有三種可能，列出三個方程，分別解出即可，同樣當(dāng)3＜t＜6時，把△EFG三邊的平方表示出來，△EFG是直角三角形也有三種可能，同理解出t的值；
（3）GG′所在的直線與直線CA垂直，且過G點，故表達式為y=

4

3

x-

7

6

，分別求出直線GG′與直線CB、BA、OA、OC的交點G′的中點在直線MN上即可得到四種情況的答案．

解答：解：（1）①當(dāng)0＜t＜3時，如圖1，過E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），
∴OA=4，OC=3，AC=5，
∵MN∥CA，
∴△OEF∽△OCA，
∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，
∴EF=

5

3

t，
∵EH⊥CA，
∴∠ECH=∠OCA，
∴sin∠ECH=sin∠OCA，
∴EG：EC=OA：CA，
即EH：（3-t）=4：5，
∴EH=

4

5

（3-t），
∴S=

1

2

×EF×HE=

1

2

×

5

3

t×

4

5

（3-t）=-

2

3

t²+2t；
②當(dāng)3＜t＜6時，如圖2，過C作CH⊥MN于H，則MC=t-3，

∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA，
∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t-3）=4：5，
∴CH=

4

5

（t-3），
易求直線AC解析式為：y=-

3

4

x+3，
∵MN∥CA，
∴直線MN的解析式為：y=-

3

4

x+t，
令y=3，可得3=-

3

4

x+t，解得x=

4

3

（t-3）=

4

3

t-4，
∴E（

4

3

t-4，3），
在y=-

3

4

x+t中，令x=4可得：y=t-3，∴F（4，t-3），
∴EF=

( 4 3 t-4-4)2+(3-t+3)2

=

5

3

（6-t），
S=

1

2

×EF×GH=

1

2

×

5

3

（t-3）=-

2

3

t²+6t-12；
綜上可知S=

- 2 3 t2+2t(0＜t＜3) - 2 3 t2+6t-12(3＜t＜6)

；
（2）①當(dāng)0＜t＜3時，E（0，t），F(xiàn)（

4

3

t，0），G（2，

3

2

），
∴EF²=

25

9

t²，EG²=2²+（t-

3

2

）²，GF²=（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²，
若EF²+EG²=GF²，則有

25

9

t²+2²+（t-

3

2

）²=（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²，解得t=0（舍去），t=-

7

3

（舍去），
若EF²+FG²=EG²，則有

25

9

t²+（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²=2²+（t-

3

2

）²，解得t=0（舍去），t=

21

32

，
若EG²+GF²=EF²，則有2²+（t-

3

2

）²+（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²=

25

9

t²，解得t=

3

2

，
②當(dāng)3＜t＜6時，E（

4

3

t-4，3），F(xiàn)（4，t-3），G（2，

3

2

），
∴EF²=（

4

3

t-8）²+（t-6）²，EG²=（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²，GF²=2²+（t-

9

2

）²，
若EF²+EG²=GF²，則有（

4

3

t-8）²+（t-6）²+（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²=2²+（t-

9

2

）²，整理得32t²-363t+1026=0，△=441，解得t=

171

32

，t=6（舍去），
若EF²+FG²=EG²，則有（

4

3

t-8）²+（t-6）²+2²+（t-

9

2

）²=（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²，整理得6t²-79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=

43

6

＞6（舍去），
若EG²+GF²=EF²，則有（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²+2²+（t-

9

2

）²=（

4

3

t-8）²+（t-6）²，解得t=

9

2

，
綜上可知當(dāng)△EFG為直角三角形時，t=

21

32

或t=

3

2

或t=

9

2

或t=

171

32

；
（3）直線MN為y=-

3

4

x+t，G（2，

3

2

），
GG′所在的直線與直線CA垂直，且過G點，故表達式為y=

4

3

x-

7

6

，在y=

4

3

x-

7

6

中，
令x=0，可得：y=-

7

6

，∴G′（0，-

7

6

），GG′中點（1，

1

6

），代入直線MN為y=-

3

4

x+t，解得t=

11

12

，
令y=0，可得：x=

7

8

，∴G′（

7

8

，0），GG′中點（

23

16

，

3

4

），代入直線MN為y=-

3

4

x+t，解得t=

117

64

，
令x=4，可得：y=

25

6

，∴G′（4，

25

6

），GG′中點（3，

17

6

），代入直線MN為y=-

3

4

x+t，解得t=

61

12

，
令y=3，可得：x=

25

8

，∴G′（

25

8

，3），GG′中點（

41

16

，

9

4

），代入直線MN為y=-

3

4

x+t，解得t=

267

64

，
綜上可知滿足條件的t的值為

11

12

或

117

64

或

61

12

或

267

64

．

點評：本題主要考查一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和一元二次方程的綜合應(yīng)用，在（1）中能分別用t表示出△EFG中的底和高是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意分情況討論，在（3）中由條件得出GG′所在的直線與直線CA垂直，且過G點，是解題的關(guān)鍵．本題計算量比較大，且情況較多，較易漏掉其中一種情況．