Question

如圖所示，已知△ABC的三個(gè)外角都是120°，點(diǎn)D、E、F分別是CA、BC、AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD=AC，CE=CB，AB=BF，連接ED、EF、FD，
（1）試判斷△DEF是什么三角形？
（2）若點(diǎn)O是△ABC三條中線的交點(diǎn)，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，則△DEF旋轉(zhuǎn)多少度后能與原來的圖形重合？

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）由于△ABC的三個(gè)外角都是120°，則△ABC的三個(gè)內(nèi)角都是60°，所以可判斷△ABC為等邊三角形，則AB=AC=BC，再利用AD=AC，CE=CB，AB=BF得到AF=BE=CD，AD=BF=CE，則根據(jù)“SAS”可證明△ADF≌△CDE，得到DF=DE，同理可得DF=FE，即DF=DE=FE，于是可判斷△DEF為等邊三角形；
（2）由于點(diǎn)O是等邊△ABC三條中線的交點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得點(diǎn)O為△ABC的中心，加上△DEF為等邊三角形，得到點(diǎn)O為△DEF的中心，然后根據(jù)等邊三角形的中心角為120度得到以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，△DEF旋轉(zhuǎn)120度后能與原來的圖形重合．

解答：解：（1）△DEF為等邊三角形．理由如下：
∵△ABC的三個(gè)外角都是120°，
∴△ABC的三個(gè)內(nèi)角都是60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，
∵AD=AC，CE=CB，AB=BF，
∴AF=BE=CD，AD=BF=CE，
在△ADF和△CDE中，

AD=CF ∠DAF=∠ECD AF=CD

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
同理可得△ADF≌△BFE，
∴DF=FE，
∴DF=DE=FE，
∴△DEF為等邊三角形；
（2）∵點(diǎn)O是等邊△ABC三條中線的交點(diǎn)，即點(diǎn)O為△ABC的中心，
而△DEF為等邊三角形，
∴點(diǎn)O為△DEF的中心，
∴以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，△DEF旋轉(zhuǎn)120度后能與原來的圖形重合．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．