Question

如圖，已知拋物線E：y=x²-4的圖象與直線l：y=-2交于A、C兩點(diǎn)，B為拋物線y=x²-4的頂點(diǎn)，拋物線F與E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
（1）求拋物線F的關(guān)系式；
（2）x軸下方的F上是否存在一點(diǎn)D，使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將拋物線E的關(guān)系式改為y=ax²+c（a＞0，c≠0），直線l的關(guān)系式改為y=-

c

2

，試探索問(wèn)題（2）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)解答即可；
（2）先由拋物線E的解析式為y=x²-4，求出A，C，B三點(diǎn)的坐標(biāo)，得到AC=2

2

，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出當(dāng)D點(diǎn)在x軸下方時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

2

，-4）或（2

2

，-4），再把這兩個(gè)點(diǎn)代入拋物線F的解析式中，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足F的解析式，從而得出所求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）把E的解析式系數(shù)用a代替，借助參數(shù)a來(lái)求證這兩個(gè)點(diǎn)．方法跟前面一樣．

解答：解：（1）∵拋物線F與E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，拋物線E的解析式為y=x²-4，
∴拋物線F的解析式為-y=x²-4，即y=-x²+4；

（2）存在點(diǎn)D，而且還是兩個(gè)．
將y=-2代入y=x²-4，得x²-4=-2，
解得x=±

2

，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

，-2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，-2），
拋物線y=x²-4的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4），
所以AC=2

2

，
所以在x軸下方，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

2

，-4）或（2

2

，-4）時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
將（-2

2

，-4）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-x²+4，得左邊=-4，右邊=-（-2

2

）²+4=-4，左邊=右邊，點(diǎn)（-2

2

，-4）在拋物線F上，
同理，將（2

2

，-4）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-x²+4，得左邊=-4，右邊=-（2

2

）²+4=-4，左邊=右邊，點(diǎn)（2

2

，-4）在拋物線F上．
綜上所述，所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2

2

，-4）或（2

2

，-4）；

（3）不存在點(diǎn)D，理由如下：
如圖，將y=-

c

2

代入y=ax²+c，得ax²+c=-

c

2

，
整理，得x²=-

3c

2a

，
∵a＞0，c≠0，
∴c＞0時(shí)原方程無(wú)解，點(diǎn)D不存在；
c＜0時(shí)，解得x=±

-6ac

2a

，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

-6ac

2a

，-

c

2

），C點(diǎn)坐標(biāo)為（

-6ac

2a

，-

c

2

），A，C兩點(diǎn)均在x軸上方．
拋物線E：y=ax²+c的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，c），B在x軸下方，拋物線F的解析式為y=-ax²-c．
∵AC=

-6ac

a

，
∴在x軸下方，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

-6ac

a

，c）或（

-6ac

a

，c）時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
將（-

-6ac

a

，c）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-ax²-c，得左邊=c，右邊=-a（-

-6ac

a

）²-c=5c，左邊≠右邊，點(diǎn)（-

-6ac

a

，c）不在拋物線F上，
同理，將（

-6ac

a

，c）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-ax²-c，得左邊=c，右邊=-a（

-6ac

a

）²-c=5c，左邊≠右邊，點(diǎn)（

-6ac

a

，c）不在拋物線F上．
綜上所述，所求點(diǎn)D的坐標(biāo)不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．