Question

1．如圖（1），已知拋物線y=x²-2x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若M為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MCB面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出面積的最大值；
（3）如圖（2），連接AC、BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）首先將A點(diǎn)代入，進(jìn)而求出函數(shù)解析式進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先設(shè)M（m，m²-2m-3），G（m，m-3），則GM=m-3-m²+2m+3=-m²+3m，再利用S_△BCM=$\frac{1}{2}$GM（BN+ON）=$\frac{1}{2}$GM•OB求出答案；
（3）首先得出△AOC∽△DCB，進(jìn)而得出∠E=∠OCB=45°，則tan∠E=1．

解答 解：（1）將（-1，0）代入y=x²-2x+c，
則1+2+c=0，解得：c=-3，
∴y=x²-2x-3                                        
=x²-2x+1-4
=（x-1）²-4
∴D（1，-4）；
（2）令y=0，則x²-2x-3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∴B（3，0），C（0，3），
∴y_BC=x-3，
如圖（1），過(guò)M作NM⊥x軸交AB于N，交BC于G

設(shè)M（m，m²-2m-3），G（m，m-3），
∴GM=m-3-m²+2m+3
=-m²+3m
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$GM（BN+ON）=$\frac{1}{2}$GM•OB
=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3
=-$\frac{3}{2}$（m²-3m+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，m²-2m-3=$\frac{9}{4}$-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$
∴G（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），面積最大值是$\frac{27}{8}$；

（3）如圖（2），連接CD，過(guò)D作DG⊥x軸于G，DF⊥y軸于F，
由C（0，-3），B（3，0），D（1，-4），有
CF=FD=1，OC=OB=3，
∴∠OCB=∠FCD=45°，
∴∠BCD=∠AOC=90°，
∵$\frac{AO}{OC}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴△AOC∽△DCB，
∴∠ACO=∠CBD，
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠E，
∴∠E=∠OCB=45°，
∴tan∠E=1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以及三角形面積求法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確表示出△BCM的面積是解題關(guān)鍵．