Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上的一點，以BD為直徑作⊙O，過O作AC的垂線交AC于點E，恰好垂足E在⊙O上，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若CF=2，cosB=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由OE垂直于AC，BC垂直于AC，得到OE與BC平行，根據(jù)O為DB的中點，得到E為DF的中點，即OE為三角形DBF的中位線，利用中位線定理得到OE為BF的一半，再由OE為DB的一半，等量代換即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，設(shè)BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即為BD的長，再由OE為BF的一半，表示出OE，由AB-OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用兩直線平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根據(jù)cosB的值，利用銳角三角函數(shù)定義列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圓的半徑長．

解答 （1）證明：∵BC⊥AC，OE⊥AC
∴OE∥BC，
又∵O為DB的中點，
∴E為DF的中點，即OE為△DBF的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$BF，
又∵OE=$\frac{1}{2}$BD，
則BF=BD；

（2）解：設(shè)BC=3x，根據(jù)題意得：AB=5x，
又∵CF=2，
∴BF=3x+2，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+2，
∴OE=OB=$\frac{3x+2}{2}$，AO=AB-OB=5x-$\frac{3x+2}{2}$=$\frac{7x-2}{2}$，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即$\frac{OE}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{\frac{3x+2}{2}}{\frac{7x-2}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：x=$\frac{8}{3}$，
則圓O的半徑為$\frac{3x+2}{2}$=5．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．