Question

7．如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC=120°，則∠DOE=60°；若∠AOC=140°，則∠DOE=70°；
（2）若∠AOC=α，則∠DOE=$\frac{1}{2}α$（用含α的式子表示），請(qǐng)說明理由；
（3）在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足∠AOC-3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用補(bǔ)角的定義可得出∠BOC，再利用角平分線的定義可得出∠COE，易得∠DOE；
（2）同理由（1）可得$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC$；
（3）設(shè)∠DOE=x，∠AOF=y，根據(jù)已知和（2）的結(jié)論可得出x-y=45°，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）若∠AOC=120°，
則∠BOC=180°-120°=60°，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-30°=60°；
若∠AOC=140°，
則∠BOC=180°-140°=40°，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-20°=70°；
故答案為：60°；70°；

（2）$\frac{1}{2}α$；
∵∠AOC=α，
∴∠BOC=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}∠BOC=90°-\frac{1}{2}α$，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-（90$°-\frac{1}{2}α$）=$\frac{1}{2}α$，
故答案為：$\frac{1}{2}α$；

（3）∠DOE-∠AOF=45°．
理由：設(shè)∠DOE=x，∠AOF=y，
左邊=∠AOC-3∠AOF=2∠DOE-3∠AOF=2x-3y，
右邊=2∠BOE+∠AOF=2（90°-x）+y=180°-2 x+y，
∴2x-3y=180-2 x+y  即4x-4y=180°，
∴x-y=45°
∴∠DOE-∠AOF=45°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用好有關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算角的和差倍分．