Question

已知：如圖所示，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始，沿AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，過P點(diǎn)作PE⊥AC于E點(diǎn)，再過E點(diǎn)作EF⊥BC于F點(diǎn)．
（1）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)位置時(shí)，①直接寫出AE=

 

．②求FC的長(zhǎng)．（要求寫出過程）
（2）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，△APE與△CEF是否會(huì)全等？若會(huì)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)了多少秒？若不會(huì)，請(qǐng)說明理由．
（3）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F移動(dòng)的最大距離是

 

．（直接寫出答案）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)，通過解直角△CEF即可解決問題．
（2）首先假設(shè)結(jié)論成立，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，找出對(duì)應(yīng)邊，列出關(guān)于線段AP的方程，求出AP的長(zhǎng)度即可解決問題．
（3）根據(jù)題意首先找出點(diǎn)F的初始位置，然后找出點(diǎn)F的終點(diǎn)位置，問題即可解決．

解答：解：（1）①AE=

1

2

；
②∵AC=2，AE=

1

2

，
∴CE=2-

1

2

=

3

2

；
又∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°；
而EF⊥BC，
∴∠FEC=30°，CF=

1

2

CE=

3

4

．
（2）△APE與△CEF會(huì)全等．
若△APE與△CEF全等，則必有△APE≌△CEF，此時(shí)AP=CE；
由（1）知AE=

1

2

AP，
∴CE=AC-

1

2

AP；
∴AP=2-

1

2

AP，解得AP=

4

3

（秒），
∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了

2

3

秒．
（3）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F移動(dòng)的最大距離是

1

2

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握題意，抓住點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中線段之間的變化規(guī)律，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)．