Question

4．如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，交折線段BA-AD于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點(diǎn)N在射線BC上，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN與△BCD的重合部分面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PQ與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E，將△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，連接PF．是否存在這樣的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）問(wèn)題的本質(zhì)就是求BP的長(zhǎng)度．當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，此時(shí)MQ=4，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，則GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，即t=4；
（2）分四種情況：0＜t≤3；3＜t≤4；4＜t≤7；7＜t≤8．對(duì)于每一種情況，畫出標(biāo)示意圖，確定重疊部分的形狀，再計(jì)算面積；
（3）分三種情況：EF=EP；FE=FP；PE=PF．同樣，對(duì)于每一種情況，畫出對(duì)應(yīng)圖形，列方程求解．

解答 解：（1）如圖2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，則四邊形AGHD是矩形．

∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=3，AG=4，
∴當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，此時(shí)MQ=4，
GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴當(dāng)t=4時(shí)，正方形PQMN的邊MN恰好過(guò)點(diǎn)D．
（2）如圖1，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，BP=t，

∵tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，tan∠C=tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=$\frac{4}{3}$t，BN=t+$\frac{4}{3}$t=$\frac{7}{3}$t，NR=$\frac{7}{6}$t，
∴$S=\frac{\frac{4}{3}t（\frac{1}{2}t+\frac{7}{6}t）}{2}=\frac{10}{9}{t}^{2}$，
如圖3，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，

BP=t，GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=4，BN=t+4，NR=$\frac{1}{2}$t+2，
∴$S=\frac{（\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}t+2）×4}{2}=2t+4$；
圖4，當(dāng)4＜t≤7時(shí)，

BP=t，GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4；
∴CN=3-（t-4）=7-t，NR=$\frac{28-4t}{3}$，
∴S=$\frac{（\frac{1}{2}t+4）（8-t）}{2}+\frac{（\frac{28-4t}{3}+4）（t-4）}{2}$=$-\frac{11}{12}{t}^{2}+\frac{28}{3}t-\frac{32}{3}$；

如圖5，當(dāng)7＜t≤8時(shí)，

BP=t，GP=$\frac{1}{2}$t，PQ=4，PH=8-t，
∴$S=\frac{（\frac{1}{2}t+4）×（8-t）}{2}$+$\frac{3×4}{2}$=$-\frac{1}{4}{t}^{2}$+22；
∴綜上所述：$S=\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{9}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{2t+4（3＜t≤4）}\\{-\frac{11}{12}{t}^{2}+\frac{28}{3}t-\frac{32}{3}（4＜t≤7）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+22（7＜t≤8）}\end{array}\right.$
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=$\frac{3}{5}$，
由（1）可知EP=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$t，則EF=EQ=PQ-EP=4-$\frac{1}{2}$t，
如圖6，當(dāng)EF=EP時(shí)，

$4-\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}t$，
∴t=4；
如圖7，當(dāng)FE=FP時(shí)，

作FR⊥EP于R，
∴ER=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{3}{5}$EF，
∴$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}t=\frac{3}{5}（4-\frac{1}{2}t）$，
∴$t=\frac{48}{11}$，
如圖8，當(dāng)PE=PF時(shí)，

作PS⊥EF于S，
∴ES=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{3}{5}$PE，
∴$\frac{1}{2}（4-\frac{1}{2}t）=\frac{3}{5}•\frac{1}{2}t$，
∴$t=\frac{40}{11}$；
綜上所述，當(dāng)t=4，$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$時(shí)，△PEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，也是動(dòng)態(tài)幾何壓軸題，主要考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積求法、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，難度較大．分類討論思想及方程思想的熟練應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．