Question

把自然數(shù)依次排成以下數(shù)陣
1，2，4，7，…
3，5，8，…
6，9，…
10，…
如果規(guī)定橫為行，縱為列，如8是排在2行3列
（1）第10行第5列排的是哪個(gè)數(shù)？
（2）第5行第10列排的是哪個(gè)數(shù)？

Answer 1

分析：觀察不難發(fā)現(xiàn)，第m行的第一個(gè)數(shù)是1+2+3+…+m的和，又第m行的第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大m，第3個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大（m+1），然后整理出第m行第n列的數(shù)的表達(dá)式．
（1）第10行第5列的行數(shù)與列數(shù)代入進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）把第5行第10列的行數(shù)與列數(shù)代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：∵第1行的第一個(gè)數(shù)是1，
第2行的第一個(gè)數(shù)是3，3=1+2，
第3行的第一個(gè)數(shù)是6，6=1+2+3，
第4行的第一個(gè)數(shù)是10，10=1+2+3+4，
…，
第m行的第一個(gè)數(shù)是1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

，
以第2行為例，5比3大2，8比5大3，…，
所以，第m行的第2個(gè)數(shù)為

m(m+1)

2

+m，第3個(gè)為

m(m+1)

2

+m+（m+1），
…，
第m行第n列的數(shù)為

m(m+1)

2

+m+（m+1）+（m+2）+…+（m+n-2）
∵m+（m+1）+（m+2）+…+（m+n-2）=m（n-1）+

(n-2+1)(n-2)

2

=m（n-1）+

(n-1)(n-2)

2

，
∴第m行第n列的數(shù)為

m(m+1)

2

+m（n-1）+

(n-1)(n-2)

2

=

m(m+2n-1)

2

+

(n-1)(n-2)

2

，
（1）當(dāng)m=10，n=5時(shí)，

m(m+2n-1)

2

+

(n-1)(n-2)

2

=

10(10+2×5-1)

2

+

(5-1)(5-2)

2

=95+6=101；
即第10行第5列排的是101；

（2）當(dāng)m=5，n=10時(shí)，

m(m+2n-1)

2

+

(n-1)(n-2)

2

=

5(5+2×10-1)

2

+

(10-1)(10-2)

2

=60+36=96，
即第5行第10列排的是96．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，難度較大，根據(jù)排列規(guī)律，寫出每一行的第一個(gè)數(shù)，然后求出第m行第n列的數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．