Question

已知：a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a²b-a²c+b³-b²c=0，試判斷三角形的形狀．
變式：已知：a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a²+2b²+c²-2b（a+c）=0，嘗試判斷三角形的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專題：

分析：首先將原式變形為a²b-a²c+b³-b²c=0，就有（b-c）（a²-b²）=0，可以得到b-c=0或a²-b²=0，進(jìn)而得到，b=c．從而得出△ABC的形狀；
分析題目所給的式子，利用配方法變形，得（a-b）²+（b-c）²=0，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答：解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵a²b-a²c+b³-b²c=0，
∴a²（b-c）+b²（b-c）=0，
∴（b-c）（a²+b²）=0，
∴b-c=0或a²+b²=0，
即b=c．
故△ABC是等腰三角形．

解：△ABC為等邊三角形．理由如下：
∵a²+2b²+c²-2b（a+c）=0，
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²=0，即（a-b）²+（b-c）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解提公因式法在實(shí)際問題中的運(yùn)用，等腰三角形的判定和直角三角形的判定．