Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A的度數(shù)為60°，∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點(diǎn)D、E，CE、BD相交于點(diǎn)F．以下四個(gè)結(jié)論：①cos∠BFE= ；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結(jié)論一定正確的序號(hào)數(shù)是（ ）
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵∠A=60° ∴∠ABC+∠BCA=180°﹣∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF= （∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE= ，
∴即cos∠BFE= ；故①正確；
∵∠BDC=∠A+ ∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°﹣∠A﹣2∠DBA=120°﹣2∠DBA
若BC=BD成立，則應(yīng)有∠BDC=∠BCA
應(yīng)有60°+∠DBA=120°﹣2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此時(shí)∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據(jù)題意，沒(méi)有條件可以說(shuō)明∠ABC是40°，
故②錯(cuò)誤；
∵點(diǎn)F是△ABC內(nèi)心，作FW⊥AC，F(xiàn)S⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正確；
由于點(diǎn)F是內(nèi)心而不是各邊中線的交點(diǎn)，故BF=2DF不一定成立，因此④不正確．
因此本題正確的結(jié)論為①③．
故選B．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的外接圓與外心的相關(guān)知識(shí)，掌握過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心，以及對(duì)解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．