Question

10．如圖，△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，E、F分別為AC、AB中點，過E、F兩點作⊙O，延長AC交⊙O于D，若∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，則⊙O的半徑為（　　）

• A． 13
• B． $2\sqrt{26}$
• C． $3\sqrt{26}$
• D． $\frac{27}{2}$

Answer 1

分析 連接OE、OF，先證BF為直徑，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)找出BG和CG的長度；由EF∥BC，找出△DCG∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出DE的長，在Rt△DFE中由勾股定理得出直徑DF的長度，從而得出結(jié)論．

解答 解：連接OF交BC于G，連接OE，如圖所示．

∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∴AB=13，
∵E、F分別為AC、AB的中點，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=6，EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∵EF∥BC，
∴∠DEF=∠DCB=90°，
∴DF為直徑，
∴∠BGF=∠OFE，
∵∠D=$\frac{1}{2}$∠EOF，∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠EOF=∠B，
∴∠OEF=∠BFG，
∴∠BGF=∠BFG，
∴BG=BF=$\frac{13}{2}$，CG=$\frac{11}{2}$，
∵EF∥BC，
∴△DCG∽△DEF，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{CG}{EF}$，
∴CD=11CE=$\frac{55}{2}$，
∴DE=30，
在Rt△DFE中，EF=6，DE=30，
∴DF=$\sqrt{E{F}^{2}+D{E}^{2}}$=6$\sqrt{26}$．
∴⊙O的半徑為3$\sqrt{26}$．
故選C．

點評 本題考查了三角形中位線定理、圓周角定理、相似三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：先證出DF為⊙O的直徑，再相似三角形的性質(zhì)找到DE的長度，由勾股定理得出結(jié)論．本題屬于中檔題，難度不小，題中用到的知識點較多，這就需要學(xué)生有良好的思維能力，先找什么，再找什么，理清頭緒．