Question

如圖，已知反比函數(shù)y=的圖象過直角三角形OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB相交于C，連結AD、OC，△OAB的周長為4+8．AD=4．下列結論：

①k=-1；②AC：CB=1：3；③△OBC的面積等于3； ④k=-2，其中正確的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②
4. D.
   ③④

Answer 1

B
分析：在直角三角形AOB中，由斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出OB的長，根據(jù)周長求出直角邊之和，設其中一直角邊AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB與OA的長，求出三角形AOB的面積，過D作DE垂直于x軸，得到E為OA中點，求出OE的長，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的長，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出k的值，確定出三角形AOC面積，進而求出三角形BOC面積，根據(jù)兩三角形高相同，得到底BC與AC之比，即可做出判斷．
解答：解：在Rt△AOB中，AD=4，AD為斜邊OB的中線，
∴OB=2AD=8，
由周長為4+8，得到AB+AO=4，
設AB=x，則AO=4-x，
根據(jù)勾股定理得：AB²+OA²=OB²，即x²+（4-x）²=8²，
整理得：x²-4x+8=0，
解得：x₁=2+2，x₂=2-2，
∴AB=2+2，OA=2-2，
∴S_△AOB=AB•OA=×（2+2）×（2-2）=4，
過D作DE⊥x軸，交x軸于點E，可得E為AO中點，
∴OE=OA=-（假設OA=2-2，若OA=2+2，求出結果相同），
在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE==+，
∴k=-DE•OE=-（+）×（-）=-2，
∴S_△COA=|k|=1，S_△BCO=4-1=3，
∵△BCO與△CAO同高，且面積之比為3：1，
∴BC：AC=3：1，
則其中正確的選項有②③④．
故選B
點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：勾股定理，直角三角形斜邊的中線性質，三角形面積求法，以及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例的圖象與性質是解本題關鍵．