Question

【題目】綜合與探究

如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A，C．

（1）求拋物線的解析式

（2）點E在拋物線的對稱軸上，求CE+OE的最小值；

（3）如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N

①若以C，P，N為頂點的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為　 　；

②若點P恰好是線段MN的中點，點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內是否存在點D，使以點D，F，P，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

注：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（﹣，）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）CE+OE的最小值為5；（3）或4；存在，當PF=FM時，點D在MN垂直平分線上，則D（）；當PM=PF時，由菱形性質點D坐標為（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）；當MP=MF時，M、D關于直線y=﹣x+4對稱，點D坐標為（﹣4，3）.

【解析】

（1）把已知點坐標代入解析式；

（2）取點C關于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′，由兩點之間線段最短，最小值可得；

（3）①由已知，注意相似三角形的分類討論．

②設出M坐標，求點P坐標．注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對稱軸對稱得到的．本題即為研究△CPN為等腰三角形的情況．

解：（1）將A（﹣4，0）代入y=x+c

∴c=4

將A（﹣4，0）和c=4代入y=﹣x2+bx+c

∴b=﹣3

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x+4

（2）做點C關于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′，連OC′，交直線l于點E．

連CE，此時CE+OE的值最�。�

∵拋物線對稱軸位置線x=﹣

∴CC′=3

由勾股定理OC′=5

∴CE+OE的最小值為5

（3）①當△CNP∽△AMP時，

∠CNP=90°，則NC關于拋物線對稱軸對稱

∴NC=NP=3

∴△CPN的面積為

當△CNP∽△MAP時

由已知△NCP為等腰直角三角形，∠NCP=90°

過點C作CE⊥MN于點E，設點M坐標為（a，0）

∴EP=EC=﹣a，

則N為（a，﹣a2﹣3a+4），MP=﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a）=﹣a2﹣a+4

∴P（a，﹣a2﹣a+4）

代入y=x+4

解得a=﹣2

∴△CPN的面積為4

故答案為：或4

②存在

設M坐標為（a，0）

則N為（a，﹣a2﹣3a+4）

則P點坐標為（a，）

把點P坐標代入y=﹣x+4

解得a1=﹣4（舍去），a2=﹣1

當PF=FM時，點D在MN垂直平分線上，則D（，）

當PM=PF時，由菱形性質點D坐標為（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）

當MP=MF時，M、D關于直線y=﹣x+4對稱，點D坐標為（﹣4，3）