Question

如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．
（1）若點F與B重合，求CE的長；
（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長．

Answer 1

解：（1）當F和B重合時，
∵EF⊥DE，
∵DE⊥BC，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AD=EF=9，
∴CE=BC-EF=12-9=3；

（2）過D作DM⊥BC于M，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴DM∥AB，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABMD是矩形，
∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12-9=3，
設AF=CE=a，則BF=7-a，EM=a-3，BE=12-a，
∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，
∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∴∠BFE=∠DEM，
∵∠B=∠DME，
∴△FBE∽△EMD，
∴=，
∴=，
a=5，a=17，
∵點F在線段AB上，AB=7，
∴AF=CE=17（舍去），
即CE=5．
分析：（1）根據題意畫出圖形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE；
（2）過D作DM⊥BC于M，得出四邊形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12-9=3，設AF=CE=a，則BF=7-a，EM=a-3，BE=12-a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，證△FBE∽△EMD，得出比例式=，求出a即可．
點評：本題考查了直角梯形性質，矩形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．