(2004•沈陽)如圖,直線l:y=x+與x軸、y軸分別交于點B、C,以點A(1,0)為圓心,以AB的長為半徑作⊙A,分別交x軸、y軸正半軸于點D、E,直線l與⊙A交于點F,分別過點B、F作⊙A的切線交于點M.
(1)直接寫出點B、C的坐標;
(2)求直線MF的解析式;
(3)若點P是上任意一點(不與B、F重合).連接BP、FP.過點M作MN∥PF,交直線l于點N.設PB=a,MN=b,求b與a的函數(shù)關系式,并寫出自變量a的取值范圍;
(4)若將(3)中的條件點P是上任意一點,改為點P是⊙A上任意一點,其它條件不變.當點P在⊙A上的什么位置時,△BMN為直角三角形,并寫出此時點N的坐標.(第(4)問直接寫出結果,不要求證明或計算過程)

【答案】分析:(1)分別令x=0,y=0即可求出B、C的坐標;
(2)可作AH⊥BF于H,F(xiàn)G⊥BD于G,根據(jù)tan∠CBO求出∠CBO=30°,而圓的半徑AB=2,所以HA=AB=1,BH=,利用垂徑定理可求BF=2,所以FG=BF=BC=3OG=2,所以F(2,),又因∠MBF=60°,BM=MF,可知MB=MF=BF=2,M(-1,2);再設直線MF的解析式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式;
(3)因為MN∥PF,所以∠NMF=∠PFM,又因∠PFM=∠PBF,所以∠PBF=∠FMN,進而可證△PBF∽△FMN,所以,代入相關數(shù)據(jù),即可求出a、b的關系式,且0<a<2
(4)因為當點P與點E或與點D重合時,△BMN為直角三角形,所以此時點N的坐為(5,2),().
解答:解:(1)B(-1,0),C(0,);

(2)作AH⊥BF于H,F(xiàn)G⊥BD于G,
tan∠CBO==,
∴∠CBO=30°
∴HA=AB=1,
∴BH=,BF=2BH=2,
∴FG=BF=,BC=3OG=2,
∴F(2,),
∵∠MBF=60°,BM=MF,
∴MB=MF=BF=2,
∴M(-1,2),
設直線MF的解析式為y=kx+b,

,
∴y=-x+y;

(3)∵MN∥PF,
∴∠NMF=∠PFM,
∵∠PFM=∠PBF,
∴∠PBF=∠FMN,
∵∠MNF=∠BFP,
∴△PBF∽△FMN,

,
∴ab=12,
∴b=,
0<a<2

(4)當點P與點E或與點D重合時,△BMN為直角三角形,
此時點N的坐為(5,2),().
點評:本題需仔細分析題意,利用相似三角形的性質(zhì)和圓的有關知識即可解決問題.
練習冊系列答案
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(2)求直線MF的解析式;
(3)若點P是上任意一點(不與B、F重合).連接BP、FP.過點M作MN∥PF,交直線l于點N.設PB=a,MN=b,求b與a的函數(shù)關系式,并寫出自變量a的取值范圍;
(4)若將(3)中的條件點P是上任意一點,改為點P是⊙A上任意一點,其它條件不變.當點P在⊙A上的什么位置時,△BMN為直角三角形,并寫出此時點N的坐標.(第(4)問直接寫出結果,不要求證明或計算過程)

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(1)求證:AB⊥AC;
(2)過點A的直線分別交⊙O1、⊙O2于點D、E,且DE是連心線時,直線DB與直線EC交于點F.請在圖中畫出圖形,并判斷DF與EF是否互相垂直,請證明;若不垂直,請說明理由;
(3)在(2)的其他條件不變的情況下,將直線DE繞點A旋轉(DE不與點A、B、C重合),請另畫出圖形,并判斷DF與EF是否互相垂直?若垂直,請證明;若不垂直,請說明理由.

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