Question

18．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，MN過點O且與邊AD、BC分別交于點M和點N．
（1）請你判斷OM與ON的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，當AB=5，AC=6時，求△BDE的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，判斷出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．
（2）首先根據(jù)四邊形ABCD是菱形，判斷出AC⊥BD，AD=BC=AB=5，進而求出BO、BD的值是多少；然后根據(jù)DE∥AC，AD∥CE，判斷出四邊形ACED是平行四邊形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周長是多少．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴$\frac{OM}{ON}$=$\frac{AO}{CO}$=1，
∴OM=ON．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC=AB=5，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=4，
∴BD=2BO=8，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE=AC=6，
∴△BDE的周長是：
BD+DE+BE
=BD+AC+（BC+CE）
=8+6+（5+5）
=24
即△BDE的周長是24．

點評 此題主要考查了菱形的判定和性質的應用，三角形的周長的含義以及求法，以及勾股定理的應用，解答此題的關鍵是要明確：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．